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    <title>圆</title>
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<p class="theorem">
	<b>Apollonius 圆 (阿氏圆)</b>
	平面上到两定点距离之比为常数 `k` (`k gt 0`, `k != 1`) 的点的轨迹为圆.
	<span class="img md">
		<img src="../img/apollonius-circle.svg">
	</span>
</p>

<p class="proof">
	设这两个定点为 `A, B`, 线段 `AB` 长为 `l`.
	若平面上一点 `R` 满足 `(RA)/(RB) = k`,
    则在直线 `AB` 上可取一点 `O`, 使得 `triangle ORA S~ triangle OBR`.
    由相似关系得
	<span class="formula">
		`k = (RA)/(RB) = (OA)/(OR) = (OR)/(OB)`.
	</span>
	于是 `OA = k^2 OB`.
    `k gt 1` 时, `O` 在 `AB` 的延长线上, 有 `OA = OB + l`, 解得
	<span class="formula">
		`OB = l/(k^2-1)`,
		`quad OR = k OB = k/(k^2-1) l`.
	</span>
    因此 `O` 点的位置与 `OR` 的长度均为定值, `R` 的轨迹为一圆.
    `0 lt k lt 1` 时同理.
</p>

<p class="definition">
  <b>圆的反演</b>
  设圆 `O` 的半径为 `r`, 若 `O, P, Q` 共线, `OP * OQ = r^2`,
  则称 `P, Q` 关于圆 `O` 互为反演. 圆 `O` 称为反演圆, `O` 为反演中心, `r`
  为反演半径.
</p>

<p class="property">
    任意一条不过反演中心的直线经过反演, 与过反演中心的圆一一对应.
    任意一个不过反演中心的圆经过反演仍为一个圆, 两圆关于反演中心位似.
</p>

<p class="property">
    在复平面上, 反演变换本质是分式线性变换 `f(z) = (a z+b)/(c z+d)`.
</p>

<p class="proof">
  设 `f(z)` 表示点 `z` 关于以 `s = a+b"i"` 为心, `r` 为半径的圆的反演.
  先设 `s = 0`, 有 `f(z) = r^2//z`. 一般情形的反演可以先平移到原点进行,
  再平移回去, 即
  <span class="formula">
    `f(z) = r^2/(z-s) + s`
    `= (s z+r^2-s^2)/(z-s)`,
  </span>
  这是分式线性变换.<br/>
  反之, 对任意分式线性变换 `f(z) = (a z+b)/(c z+d)`,
  不妨设 `c = 1`, 于是当 `a d-b c lt 0` 时
  <span class="formula">
    `f(z) = a + d + (-d z+b-d(a+d))/(z+d)`,
  </span>
  相当于反演变换与平移的叠加.
</p>

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</body>
</html>
